تحلیل واپاشی مزون b به d_q p به روش فاکتوریزیشن qcd

در مورد مفهوم واپاشی غیر لپتونی عبارت " فاکتور گیری " معمولا برای نزدیک سازی عنصر ماتریس عملگر چار فرمیونی به طریق تولید یک فرم فاکتور و یک ثابت واپاشی به کار می رود . تصحیح های این تقریب را "غیر قابل فاکتور گیری " می نامند. در مورد واپاشیb غیرلپتونی ، ساده سازی در ابتدا از این نوع (ساختار ساده) بشمار می رود ، ما آن را اثرات غیر قابل فاکتورگیری می نامیم که به ویژگی های طول بلند مزون b و هر دو مزون حالت پایانی به شکل ترکیبی بستگی دارند. همچنین می توان فاکتور گیری را به معنی جداسازی سهم های طول بلند یک فرآیند از قسمت طول کوتاه دانست که وابسته به مقیاس بزرگ می باشد. قسمت طول کوتاه در یک بسط و در جفت شدگی قوی قابل محاسبه خواهد بود و سهم های طول بلند باید به شکل غیر اختلالی محاسبه گردیده و یا از روی تجربه تعیین می شوند. فایده این کار این است که این پارامتر های غیر اختلالی غالبا در پیکره و ساختار ساده تر از کمیت اصلی می باشند و یا مستقل از یک فرآیند یافت می شوند. برای مثال فاکتورگیری بکار رفته در فرآیند های سخت و در برخورد های فراگیر هادرون-هادرون تنها نیازمند توزیع و انتشار پارتون به عنوان یک ورودی غیر اختلالی می باشد.در مقایسه با عنصر ماتریس اصلی با دو هادرون اولیه توزیع های پارتون موضوعات ساده تری می باشند. به سخن دیگر فاکتورگیری بکار رفته در فرم فاکتورb?d منجر به یک مورد غیر اختلالی (تابع ایزگور- وایز) می گردد که هنوز یک تابع انتقال تکانه به حساب می آید.البته سود این کار در این است که تقارن ها به مرتبط کردن این تابع به فرم فاکتور های دیگر می پردازد. ویژگی های فاکتورگیری دامنه های واپاشی غیر لپتونی بستگی به وضعیت پایانی دو مزون دارد.ما یک مزون را زمانی سبک می نامیم که جرم آن در حد کوارک سنگین، متناهی باقی بماند. و یک مزون را زمانی سنگین می نامیم که جرم آن با در حد کوارک سنگین مورد قیاس قرار گیرد به طوری که ثابت باقی بماند.در واقع ما هنوز می توانیم را برای یک مزون سبک داشته باشیم.مزون های چارم می توانند به عنوان مزون های سبک در این معنا ومفهوم تلقی شوند البته مگر این که آنها را به نوعی دیگر ذکر کرده باشیم. 3-1-1 فرمول فاکتوریزیشن: حال به ملاحظه واپاشی های ضعیف در حد کوارک سنگین پرداخته و به تفکیک واپاشی های موجود در حالات پایانی حاوی مزون سنگین و سبک اقدام میکنیم. تصحیحات توان از مرتبه عنصر ماتریس انتقال یک عملگر oi،در یک رابطه هامیلتونین موثر ضعیف به شکل زیر خواهد بود: در صورتی که و هر دو سبک باشد (3-1) در صورتی که سنگین و سبک باشد در اینجا به فرم فاکتور b? اشاره دارد.و دامنه توزیع مخروط نوری جهت حالت فوک کوارک-آنتی کوارک مزون x می باشد . ما این کمیت های اختلالی را در بخش های بعدی تعریف خواهیم کرد . و توابع پراکندگی سخت می باشد که به شکل اختلالی قابل محاسبه هستند . کرنل های پراکندگی سخت و دامنه های انتشار مخروط نور به مقیاس فاکتورگیری بستگی دارد که این در معادله (3-1) حذف شده است . و سرانجام m1,2 نمادی از جرم مزون های سبک می باشند . معادله (3-1) به شکل نموداری درشکل (3-1) نشان داده شده است (خط دوم معادله اول در(3-1) به گونه ای ساده گردیده است که ممکن است نیازمند یک انتگرال گیری تکانه عرضی در مزونb که از مرتبه شروع میگردد، باشد [21] . همانطور که معلوم است معادله اول در (3-1) برای واپاشی های موجود در دو مزون سبک بکار می رود که در مورد آنها کوارک تماشاگر در مزونb می تواند در هر کدام از مزون های حالت نهایی قرار گیرد . اگر کوارک ناظر(تماشاگر) بتواند به یکی از حالت های پایانی برود مثل مورد در این مورد عبارت سوم در طرف سمت راست (3-1) که عامل برهمکنش های سخت با کوارک ناظر می باشد می تواند حذف گردد چون در حد کوارک سنگین بطریق توان سرکوب می شود. در موقعیت مخالف وعکس که کوارک ناظر به مزون سبک می رود اما مزون دیگر سنگین می باشد چون مزون سنگین نه سریع و نه کوچک می باشد و قابل فاکتور گیری از انتقال گذار m1 b? نیست (البته چنین دامنه هایی باز در حد کوارک سنگین و در رابطه با دامنه هایی در آن کوارک ناظر به یک مزون سنگین می رود و در حالیکه مزون دیگر سبک می باشد) بوسیله توان سرکوب می گردند. شکل(3- 1 ):نمودار فرمول فاکتوریزیشن. بخاطر سادگی تنها یکی از عبارات فرم فاکتور در معادله (3-1) نشان داده شده است. یادآور می شویم که توپولوژی انهدام و نابودی در فرمول فاکتور گیری ظاهر نمی گردد . آنها در lo در بسط کوارک سنگین سهمی ندارند. هر برهم کنش سختی به یک ضریب می انجامد. در نتیجه عبارت سوم در معادله(3-1) در مرتبه وجود ندارد .از آنجا که در این مرتبه توابع مستقل از هستند انتگرال همگردشی منجر به ثابت واپاشی مزون گردیده و ما ناظر آن خواهیم بود که معادله (3-1) به تولید مجدد فاکتوریزیشن ساده بپردازد. فرمول فاکتوریزیشن به ما اجازه می دهد تا به محاسبه تصحیح های تابشی در مورد این نتیجه و در تمام مرتبه های بپردازیم.تصحیح های بیشتر بطریق توان در محدوده کوارک سنگین سرکوب می شوند. سودمندی فرمول فاکتوریزیشن ناشی از این حقیقت است که کمیت های غیر اختلالی که در سمت چپ آن ظاهر می شوند خیلی ساده تر از عنصر ماتریس اصلی غیر لپتونی که در سمت چپ آن ظاهر می شوند ، می باشند. و این بدلیل آن است که یا به انعکاس ویژگی ها ی همگانی یک حالت تک مزونی(دامنه انتشار مخروط نوری) پرداخته و یا تنها به یک عنصر ماتریس گذار b? مزون در جریان محلی (فرم فاکتور) اشاره دارند. در حالیکه اگر این کار غیر ممکن نباشد بسیار دشوار است که بتوان به محاسبه عنصر ماتریس اصلی در شبکه اقدام نمود ، دامنه های انتشار مخروط نوری قبلا به این طریق محاسبه شده اند هر چند که در حال حاضر این روند با خطا های قابل توجه منظم صورت می گیرد . در نتیجه فرم فاکتور ها می توانند با استفاده از داده های موجود درباره ی واپاشی های نیمه لپتونی و دامنه های انتشار مخروط نوری در مقایسه با دیگر فرآیند های خاص سخت بدست بیایند. از آنجا که فرم فاکتورها و دامنه های انتشار مخروط نور واقعی اند، تمام برهمکنش های حالت پایانی و فازهای نیرومند ایجاد شده بوسیله آنها بخشی از توابع قابل محاسبه پراکندگی سخت هستند. این مورد و فقدان تصحیح های غیر قابل فاکتور گیری ، غیر محتمل است که فراتر از مرتبه تقدمی در بسط و گسترش کوارک سنگین واقعی باشند، چون تاثیرات گلئون(نرم) سبک که به پیوند و می پردازند و به وسیله یک توان سرکوب می شوند، وجود دارند دامنه های انتشار مخروط نوری مزون های ارتباط دامنه های توزیع مخروط نور مزون های زیاد نیستند چون کوارک ناظر در مزون در چهارچوب سکون پر انرژی نیست. بنابراین اگر ما به اختصاص تکانه l به کوارک ناظر بپردازیم ، تمام مولفه های l در مرتبه می باشند.دامنه توزیع مخروط نور مزون b تنها در جمله سوم و در سمت راست معادله (3-1) یعنی عبارت برهمکنشی ناظر سخت ظاهر می شود. همانطور که می دانیم این عبارت تنها توان تقدمی جهت واپاشی دو مزون سبک و یا واپاشی های یک مزون سبک و یک اونیوم می باشد .لذا در مرتبه s? می توانیم دریابیم که دامنه برهمکنشی ناظر سخت تنها به p? • l در lo در 1/mb بستگی دارد ، که p تکانه مزون سبک می باشد که به گزینش کوارک تماشاگر می پردازد.مولفه های مخروط نور جهت هر بردار شامل (3-4) می باشند.اگر ما به گزینش به صورتی اقدام کنیم که مقدار آن غیر صفر باشد ،دامنه ناظر سخت تنها بستگی به خواهد داشت.دامنه واپاشی برای دو حالت کلی ذره فوک مزون b توسط انتگرال تابع موج کامل بته-سالپتر و با دامنه واپاشی پارتونی ارائه خواهد شد. (3-5) (نقطه ها نشان دهنده ، نمای مرتبه مسیر مورد نیاز جهت ایجاد ناوردایی پیمانه ای عنصر ماتریس می باشند). پس تقریب ما به شکل زیر خواهد بود: (3-6) که تا تصحیح های توان معتبر هستند. از آنجا که تابع موج را میتوان روی جمع زد این کار مستلزم آن است که ما نیازمند فقط برای z شبه سبک مانند باشیم . جهت تجزیه خیلی کلی دامنه توزیع مخروط نور در ما به استفاده از این حقیقت که در چهارچوب سکون مزون ، تنها دو مولفه بالایی اسپینور کوارک بزرگ می باشد ، می پردازیم. البته از آنجا که کوارک ناظر نه پر انرژی و نه سنگین می باشد ، هیچ محدودیت بیشتری در مولفه های موجود اسپینور کوارک- ناظر وجود ندارد. پس در آن صورت ما در خواهیم یافت که مزون توسط دو موج نرده ای و توابع آن در توان تقدمی توصیف می شوند که گزینه آن به شکل زیر خواهد بود: (3-7) که و شرایط بهنجارش نیز شامل (3-8) هستند. در محاسباتی که شامل دامنه توزیع مزون باشد ما فقط به اولین اندازه حرکت تابع موج مزون یعنی نیاز داریم که به روش زیر به دست می آید [22] : (3-9) تا زمانی که تابع موج به که از مرتبه است، بستگی دارد از مرتبه خواهد بود.اگر مقیاس برهمکنش قوی را انتخاب کنیم نیز همان مقدار را به خود می گیرد و با داریم تابع موج مزون نیز از رابطه زیر به دست می آید [23و 24] : (3-10) و ثابت های نرمال کردن هستند که تابع موج فوق را نرمال میکنند .یعنی می تواند یا باشد . اگر آن را انتخاب کنیم را به دست می آوریم . برای را داریم. و اگر را انتخاب کنیم را به دست خواهیم آورد و داریم . تا اینجا سه عدد متفاوت برای جواب انتگرال تابع موج مزون که در ضرایب کاربرد دارد را به دست آورده ایم. برخلاف دامنه های انتشار مزون های سبک، دامنه های انتشار مزون حتی از نظر تئوریکی زیاد قابل شناخت نیستند. در مقیاس های خیلی بزرگتر از ، مزون مانند یک مزون سبک می باشد و دامنه توزیع باید به یک فرم تقارنی نزدیک گردد. در مقیاس های مرتبه و کوچکتر هر کسی انتظار دارد دامنه های انتشار در مورد ی مرتبه خیلی نا متقارن باشند. ضرایب فاکتور کردن a_i برای ذرات به ازای عدد رنگ 3 (n_c=3) و عدد کوارک فعال 5 (f=5) ماتریس های?^((0) ) و ?^در ضرایب ویلسون به کار می روند . این بدان معنی است که عدد کوارک فعال در واپاشی های فوق یعنی تعداد کوارک های فعال درگیر در برهمکنش ها ، به طوری که مجموع آنها می تواند3و4و5 باشد ، در تمام واپاشی های b?d یک کوارک b وجود دارد. همانطور که می دانیم در این بر همکنش ها سه مزون شرکت می کنند که هر یک از آنها از یک کوارک و یک پادکوارک تشکیل شده است پس در مجموع می توان گفت که شش کوارک فعال f داریم از طرفی عدد کوارک فعال در هر واپاشی باید برابر f=u+d باشد که u تعداد کوارک های بالا(up) و d تعداد کوارک های پایین(down) می باشد .از آنجایی که در اکثر واپاشی ها سه کوارک فعال u و دو کوارک فعال d شرکت می کنند بنابراین ما عدد کوارک فعال را f=5 در نظر می گیریم که جواب های بهتری به ما می دهد.با جاگذاری?^((0) ) و?^((1) ) در رابطه(3-29) می توانیم ضرایب ویلسون را محاسبه کنیم که این محاسبات برای c_1^eff و c_2^eff در مقیاس ?=m_b?2 به شکل زیر است : c_1^eff=c_1+?_s/4? (?_s^0 ln m_b/?+?_s^1 ) (_1i^)c_i c_2^eff=c_2+?_s/4?(?_s^0 ln m_b/?+?_s^1)(_2i^)c_i برای ماتریس های ?^((0) ) و?^((1) ) وقتی بسط را از i=1 تا i=6 باز کنیم فقط دو جمله اول غیر صفر می شوند و بقیه جملات صفر هستند بنابراین برایc_1^eff وc_2^eff داریم: c_1^eff=1.137+0.286/4? [(-2ln(2)+7?3)1.137+(6×ln??(2)-7? )(-0.295)+0]=1.18 c_2^eff=-0.295+0.286/4? [(6ln(2)-7)1.137+(-2×ln??(2)+7?3? )(-0.295)+0]=-0.37 میدانیم که در برهمکنش های ضعیف ، هامیلتونی موثر بر حسب ضرایب ویلسون نوشته می شود ولی آنها فقط شامل سهم های قابل فاکتور گیری می شوند ، بنابراین ما باید ضرایب ویلسون را به ضرایب ویلسون موثر که شامل سهم های غیر قابل فاکتور گیری نیز باشد تبدیل کنیم و سپس از آنها برای به دست آوردن ضرایب فاکتوری کردن a_i بر اساس فرمول های زیر استفاده می کنیم. a_2i=c_2i^eff+(1/(n_c^eff ))_2i c_2i^eff a_(2i-1)=c_(2i-1)^eff+(1/(n_c^eff ))_(2i-1) c_2i^eff (i=1,…,5) که در آن (1/(n_c^eff ))_i=1/n_c +x_i x_i مرتبه ی ، سهم های غیر قابل فاکتور کردن می باشد.که سهم عمده آن مربوط به عملگرهای جریان است. در نبود برهمکنش های حالت نهایی باید فرض کنیم که x_i و به واسطه ان n_c^eff اعداد حقیقی اند . به طور کلی n_c^eff می تواند مقادیر مختلفی را به خود بگیرد . در یک حالت خاص اگر n_c^eff را برابر ? قرار دهیم ضرایب موثر ویلسون با ضرایب a_i برابری خواهند کرد . 4-3 دامنه و آهنگ گذار واپاشی ها حال به بررسی دامنه های واپاشی و آهنگ گذار واپاشی برای واپاشی های b_q?d_q p ، که q=u,d,s ،p=?,k,d_q می باشند ، می پردازیم . در سطح کوارک ، هامیلتونین موثر برای b_q?d_q ?[k,k^* ] به صورت زیر می باشد: h_eff=g_f/?2 {v_cb v_uq^* (c_1 o_1^uc_2 o_2^u )} در این رابطه o_1^u و o_2^u عملگر های کوارک به وسیله رابطه زیر به دست می آیند. o_1^u=(¯q_i u_i )_(v-a) (¯c_j b_j )_(v-a),o_2^u=(¯q_i u_j )_(v-a) (¯c_j b_i )_(v-a) که q=d,s و (¯q_1 q_2 )_(v?a)=¯q_1 ?^? (1±?_5 ) q_2 .هر چند که هامیلتونین موثر برای b_q?d_q (d_q^* ) d_q و b_q?d_q (d_q^* ) d_q^* در سطح کوارک می تواند به وسیله رابطه زیر نوشته شود: h_eff=g_f/?2 {v_cb v_cq^* (c_1 o_1^c+c_2 o_2^c )+v_tb v_tq^* ?_(n=3)^10??c_n o_n ?} در این جا o_n عملگر های کوارک هستند و توسط روابط زیر به دست می آیند: o_1^c=(¯q_i c_i )_(v-a) (¯c_j b_j )_(v-a), o_2^c=(¯q_i c_j )_(v-a) (¯c_j b_i )_(v-a) o_3(5) =(¯q_i b_i )_(v-a) (¯c_j c_j )_(v-a), o_4(6) =(¯q_i b_j )_(v-a) (¯c_j c_i )_(v-a) o_7(9) =?3/2 (¯q_i b_i )?_(v-a) e_q (¯c_j c_j )_(v+(-a) ), o_8(10) =3/2 (¯q_i b_j )_(v-a) e_q (¯c_j c_i )_(v+(-a) ) که e_q عدد بار الکتریکی کوارک c ، iو j نیز رنگ را نشان می دهند. عملگرهای o_1 و o_2 عملگرهای جریان_جریان نامیده می شوند،o_(3,…,) o_6 عملگرهای پنگوئنی qcd اند و o_(7,…,) o_10 عملگرهای پنگوئنی الکتروضعیف نامیده می شوند. ضرایب ویلسون c_n در طرح های متفاوتی محاسبه می شوند . ارزش c_n در ??m_b با تصحیحات qcd مرتبه تقدمی بعدی(nlo) به صورت زیر می باشد [37] : c_1=1.117 , c_2=?0.257 , c_3=0.017 , , c_4=-0.044 , c_5= 0.011 , , c_6=-0.056 , c_7=-1×?10?^(-5) , c_8=5×?10?^(- , c_9=-0.010 , c_10=0.002 . آهنگ گذار واپاشی فرآیند غیر لپتونی b_q?d_q m که m مخفف مزون های v یا p است به صورت زیر نوشته می شود: ?(b_q?d_q m)=1/(16?m_(b_q)^3 ) |a|^2 ?(?(m_(b_q)^2,m_(d_q)^2,m_m^2 ) ) که ?(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz تابع مثلثی مفید می باشد. برای اینکه بتوانیم پهنای واپاشی را به دست بیاوریم ابتدا باید دامنه a را محاسبه کنیم. بنابراین با استفاده از روش فاکتوریزیشن و تعریف عناصر ماتریس مربوطه در ترم های فرم فاکتور f_+ ,f_- و خواهیم داشت: ?d_q (p^ )?¯c ?_? (1±?_5 )b?b_q (p) ?= (p+p)_? f_+ (q)^2+(p-p)_? f_- (q)^2 که َa برای واپاشی های b_q?d_q p (p=? ,k) به صورت جملات زیر می باشد: (4-25) a^(b_q?d_q p)=i g_f/?2 {v_cb v_uq^* a_1 } m_p f_p [f^(b_q?d_q p) (m_p^2 )] (4-26) f^(b_q?d_q p) (m_p^2 )=(m_(b_q)^2-m_(d_q)^2 ) f_+ (m_p^2 )+m_p^2 f_- (m_p^2 ) در روابط بالا p و p چهار بردار اندازه حرکت b_q و d_q هستند. مقادیر a_i در مرتبه های ضرایب c_i به صورت زیر می باشند: (4-27) a_i=c_i+1/n_c c_(i+1) (i=odd) که مقادیر i به صورت i=1,…,10 می باشد و n_c عدد رنگ در qcd است.حال به محاسبه ی آهنگ گذار واپاشی برای b_q?d_q p می پردازیم . بیان واضح برای آهنگ گذار واپاشی با جملات زیر داده می شود [40] : ?(b_q?d_q p(p=?,k))=(g_f^2)/(32?m_(b_q)^3 ) v_cb^2 v_uq^2 a_1^2 m_p^2 f_p^2 ?(?(m_(b_q)^2,m_(d_q)^2,m_p^2 ) ) [f^(b_q?d_q p) (m_p^2 )]^2 با استفاده از این رابطه آهنگ گذار برای واپاشی های b_q?d_q p به دست می آید . جدول(5-13): نسبت های شاخه ای واپاشی ها در br br br br br 3.0±07e-4 2.14e-05 2.19e-05 2.28e-05 3.2±0.5e-3 2.19e-05 2.24e-05 2.34e-05 4.85±0.15e-3 1.10e-04 1.12e-04 1.17e-04 3.68±0.33e-4 1.09e-04 1.11e-04 1.16e-04 2.68±0.13e-3 1.12e-04 1.15e-04 1.19e-04 2±0.6e-4 1.07e-04 1.09e-04 1.14e-04 جدول(5-14): نسبت های شاخه ای واپاشی ها در 3.0±07e-4 2.17e-05 2.23e-05 2.36e-05 3.2±0.5e-3 2.22e-05 2.29e-05 2.41e-05 4.85±0.15e-3 1.12e-04 1.15e-04 1.21e-04 3.68±0.33e-4 1.10e-04 1.13e-04 1.20e-04 2.68±0.13e-3 1.14e-04 1.17e-04 1.23e-04 2±0.6e-4 1.08e-04 1.11e-04 1.18e-04 هدف ما در این بحث ، مطالعه واپاشی های غیر لپتونی مزون به دو مزون سنگین و سبک در محدوده ی کوارک های سنگین و نشان دادن مقیاس بر همکنش قوی می باشد. نتایج به دست آمده اهمیت مورد توجه قرار دادن این پارامتر ها را نشان می دهد. اگر در محاسبات متغیر های وابسته به مقیاس قوی ، بدون در نظر گرفتن آن مقیاس خاص عمل کنیم ، جواب های متفاوتی به دست خواهد آمد. ما به طور کلی ضرایب مربوط به واپاشی های را محاسبه کردیم و به بررسی بستگی آن به مقیاس بازبهنجارش پرداختیم و دیدیم که ضریب دارای وابستگی خیلی ضعیف روی) و انتخاب ساختار بازبهنجارش می باشد. همچنین وابستگی خیلی ضعیف روی نشان می دهد که طبق پیش بینی نزدیک به واحد و در سازگاری با پدیده شناختی فاکتور گیری قرار دارد. نتایج به دست امده در جدول های(5-13) و(5-14) شامل یک مقاسیه از نتایج ما با پیشگویی های موجود از pqcd در قیاس با مقادیر آزمایشی می باشد . ازاین جدول ها ما یک ثبات خوبی را در میان این روش و آزمایش می بینیم . ثبات درمیان پیشگویی های ما و نتایج آزمایش یک امتحان مناسب برای روش فاکتوریزیشن qcd می باشد . در پایان می توان گفت که روش فاکتوریزیشن qcd مورد استفاده ،اگر با توجه به سهم های از جریان-جریان ، پنگوئنیqcd و عملگرهای پنگوئنی الکتروضعیف و با در نظر گرفتن نمودارهای فاینمن و همچنین تصحیحات دقیق تر انجام شود به نتایج بهتری خواهیم رسید.